81. E.W.Dijkstra Archive: Fibonacci Numbers And Leonardo Numbers. (EWD 797) fibonacci numbers and leonardo numbers. The fibonacci numbers are given byF0 = 1 F1 = 1 Fn+2 = Fn+1 + Fn (or Fn+2 – Fn+1 – Fn = 0). http://www.cs.utexas.edu/users/EWD/transcriptions/EWD07xx/EWD797.html

EWD 797 Fibonacci numbers and Leonardo numbers. (The following formal derivations and computations are absolutely elementary and without scientific in- terest. But I am interested in some numbers and need the formulae, and learned that working on a scratch pad I make too many mistakes. Hence.) The Fibonacci numbers are given by F = 1 F = 1 F n+2 = F n+1 + F n (or : F n+2 n+1 n = 0). The analytical solution of a homogeneous recurrence relation like this is found by solving first the cor- responding characteristic equation which one gets by "trying" an F of the form F n = x n : (0) x n n give rise to linearly independent sequences and each solution of the homogeneous recurrence relation is of the form (3) F n = X n + Y n where the constants X and Y are determined by solving the set of linear equations X + Y = F Y = F see (2) X = F F , hence F F F F F F F F F F F = F = 1 and find, according to (3) (6) F n n n n n * * * We now switch to the Leonardo numbers given by L = 1 L = 1 L n+2 = L n+1 + L n + 1 . This recurrence relation is not homogeneous but

82. Fibonacci fibonacci, leonardo Pisano. (11701250). Italský cestovatel a matematik, skutecnýmjménem leonardo Pisano. fibonacci byla jeho prezdívka. http://www.aldebaran.cz/famous/people/Fibonacci_Leonardo.html

Fibonacci, Leonardo Pisano Italský cestovatel a matematik, skuteèným jménem Leonardo Pisano. Fibonacci byla jeho pøezdívka. Nìkteré jeho práce se nedochovaly, zejména komentáøe k Euklidovì knize The Elements . Zabýval se teorií èísel, ve které vyøešil øadu problémù. Dnes je na jeho poèest pojmenována Fibonacciho posloupnost (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...), ve které je každé další èíslo souètem dvou pøedchozích a kterou Fibonacci získal jako øešení problému poètu množících se králíkù. Nachází také racionální aproximace nìkterých reálných èísel.

83. ETH D-MATH 11. Eine Pension Für Leonardo Fibonacci leonardo Eine Pension für leonardo fibonacci. Vergrössern. Vergrössern http://www.math.ethz.ch/fibonacci/VirtuellerBesuch/11

About Us People Contact Sitemap ... Help Search Research Assistant Groups Undergraduate Study Graduate School ... Impressum 11. Eine Pension f¼r Leonardo Fibonacci Vergr¶ssern „Angesichts der Ehre und der Verdienste unserer Stadt und ihrer B¼rger, die diesen aus den Doktrinen und den grossen Diensten des diskreten und wissenden Lehrers Leonardo Bigollo zukommen, seiner Sch¤tzungen und S¤tze im Gebiet der Rechenkunst, die f¼r die Stadt und ihre Beamten notwendig sind, und angesichts anderer Dinge, sprechen wir – wie es sich geziemt – mit dem gegenw¤rtigen Akt besagtem Leonardo – nebst den ¼blichen Wohltaten – von der Gemeinde und dem ¶ffentlichen Schatz zwanzig Lire als Titel zur Belohnung oder Jahressal¤r zu. Dies f¼r seine Hingabe und Wissenschaft und als Entsch¤digung der Arbeit, die er unterh¤lt, um die obengenannten Sch¤tzungen und S¤tze zu studieren und zu bestimmen. Dies alles, damit besagter [sc. Leonardo] ausserdem wie ¼blich der Gemeinde von Pisa und ihren Beamten in den Praktiken des Rechnens diene.“ home Wichtiger Hinweis: folgender Seite Important Note: More information Imprint February 10, 2005

84. ETH D-MATH 9. Leonardo Fibonacci Aus Pisa Translate this page leonardo fibonacci aus Pisa. Vergrössern. Vergrössern. Der Grossteil der Nachrichtenüber leonardo fibonacci stammen aus seinen Werken selbst, http://www.math.ethz.ch/fibonacci/VirtuellerBesuch/9

About Us People Contact Sitemap ... Help Search Research Assistant Groups Undergraduate Study Graduate School ... Impressum 9. Leonardo Fibonacci aus Pisa Vergr¶ssern Der Grossteil der Nachrichten ¼ber Leonardo Fibonacci stammen aus seinen Werken selbst, insbesondere aus dem Liber Abaci. Sein Geburtsdatum ist unbekannt und war Gegenstand verschiedener Mutmassungen. Heute wird es gemeinhin auf wenig nach 1170 datiert. Sein Vater Guilielmus Bonacci (daher Fibonacci f¼r Filius Bonacci) nahm ihn als Kind mit nach Bugia, einer Stadt in der N¤he des heutigen Algier, wo er als Diplomat der Gemeinde Pisa t¤tig war. Hier eignete sich Leonardo die ersten Kenntnisse der Mathematik an, die er dann im Verlauf zahlreicher Reisen durch den gesamten Mittelmeerraum vervollkommnete. Dadurch erwarb er sich den œbernamen „Bigollo“, der Vagabund. Ein Dokument aus dem Jahr 1241, mit dem ihm die Gemeinde von Pisa eine Pension zuspricht, bezeugt, dass Fibonacci zu diesem Zeitpunkt noch am Leben war. Von diesem Zeitpunkt an fehlen aber weitere Nachrichten von Leonardo Fibonacci. home Wichtiger Hinweis: folgender Seite Important Note: More information Imprint February 10, 2005

85. 0. Keep Your Terminology Straight fibonacci, leonardo. quote lang= la foreignphrase Quot paria coniculorumin uno anno ex uno pario germinatur? /foreignphrase /quote , or, in English http://www.cafeconleche.org/books/effectivexml/chapters/00.html

Introduction As I already stated in the preface, this is not an introductory book or an XML tutorial. I assume that you're familiar with the basic structure of an XML document as elements that contain text, that you know how to ask a parser to read an XML document in your language of choice, that you can attach a style sheet to a document as necessary and so forth. However, I have noticed over the last few years that certain words and phrases have taken on a diverse set of meanings, and are often used inconsistently. Sometimes this just confuses people, but occasionally it's led to serious process failures. Some of this has been caused by authors and trainers (embarrassingly sometimes including the author of this book) who weren't sufficiently careful with their use of words such as element and tag . However, some of the confusion rests with the XML working groups at the W3C who are often not consistent with each other or even within the same specification. Before we proceed with the detailed rules, it is worth taking the time to define our terms carefully, make sure we agree which words mean what, as well as recognizing those areas where there are genuine disagreements about the meaning of common technical terms. Toward that end, I've prepared the following list of the most frequently confused XML terms:

86. Willem's Fibonacci Site. Deze site bevat wetenswaardigheden over fibonacci getallen. leonardo di Pisa,alias fibonacci (zoon van Bonaccio) http://home.versatel.nl/LeonardEuler/fibo.htm

Fibonacci Email Leonardo di Pisa, alias Fibonacci (zoon van Bonaccio) Genealogie en Fibonacci (inleiding) Dammen, Bridge, enz. en Fibonacci Beleggingstheorie en Fibonacci Numerieke toepassing Fibonacci ... Een andere bijzondere site

87. Biografia De Fibonacci, Leonardo Matemático italiano. Difundió en Occidente los conocimientos científicos del http://www.biografiasyvidas.com/biografia/f/fibonacci.htm

Inicio Buscador Las figuras clave de la historia Reportajes Los protagonistas de la actualidad Fibonacci, Leonardo (Llamado Leonardo Pisano; Pisa, c. id c. 1240) Matemático italiano. Difundió en Occidente los conocimientos científicos del mundo árabe, que recopiló en Liber abbaci . Popularizó el uso de las cifras árabes y en Practica geometriae expuso los principios de la trigonometría. Inicio Buscador Recomendar sitio

88. Leonardo Fibonacci, Mathematiker [ Goldener Schnitt ] : Lexikon Der Typographie Translate this page Italienischer Mathematiker aus Pisa (um 1180-1240 n.Chr.). Autor des 1202 n.Chr.erschienenen Traktats »Liber Abaci«, der auf 459 Seiten die Arithmetik und http://www.typolexikon.de/f/fibonacci-leonardo.html

Fibonacci, Leonardo Arabischen Ziffern im westlichen Europa allgemein bekannt, welche sukzessive die Fibonacci war der erste Mathematiker, der den Goldenen Schnitt fundiert nachgewiesen hat. Index A B C D ... Z

89. Turba Delirantium - Kurzbiographie Des Leonardo Pisano Fibonacci http://turba-delirantium.skyrocket.de/biographien/fibonacci.htm

Domus Wir Unsere Projekte Calendarium Geschichte ... Suchen TURBA DELIRANTIUM Kurzbiographie des Leonardo Pisano Fibonacci L eonardo Pisano (Leonard von Pisa), der auch kurz Fibonacci (für "filius Bonnacci", Sohn des Bonacci) genannt wird, wurde ca. 1180 in Pisa geboren. Sein Vater war ein Pisaer Kaufmann, der u.a. mit den arabischen Ländern Nordafrikas Handel trieb. Leonardo hatte einen muslimischen Lehrer, und machte Reisen u.a. nach Ägypten, Syrien und Griechenland, und lernte auf diese Weise die hindu-arabischen Ziffern und die von den arabischen Mathematikern erfundenen Rechenmethoden kennen. D iese stellt er sehr sorgfältig in seinem 1202 vollendeten Buch " Liber Abaci ", dem "Buch vom Abakus", auch wenn es gerade die algebraischen Methoden behandelte, die den Abakus überflüssig machen sollten, vor. In diesem propagiert er den Gebrauch der Hindu-arabischen Ziffern und erläutert die vier Grundrechenarten, die Bruchrechnung und kaufmännische Rechenmethoden. D as Liber Abacci enthält aber viele eindrucksvolle mathematische Probleme, die von späteren Autoren immer wieder zitiert wurden, so z.B. das Problem mit den Kaninchen aus der 2. Edition:

90. Leonardo Fibonacci Translate this page Federico secondo, un uomo geniale, links, monarca, leonardo fibonacci, stupormundi.it,Pisa, Maestro Juan, Liber quadratorum,los Pisanos, sueva, comercio, http://www.stupormundi.it/spagnolo/Fibonacci.htm

Leonardo Fibonacci un hombre de la Corte sueva que supo, con su sabidurìa, afascinar a Federico II por Alberto Gentile Leonardo Fibonacci (Pisa 1170-1240) era hijo del empleado de la aduana de Bogia, en Argelia, donde los Pisanos entretenìan florecientes tràficos comerciales. Por mèrito de su padre aprendiò desde muy joven E l àbaco a la manera de los Hindis : las cifrar àrabas con el cero, aùn desconocidas en Italia. El mismo Leonardo dice de haber perfeccionado estos conocimientos en sus viajes en Egipto, Siria, Sicilia y sur de la Francia, donde tuvo que ir por razones de comercio A trenta y dos años publicò la primera ediciòn del "Liber Abaci" : una obra que revolucionaba los sistemas de numeraciòn, y al mismo tiempo un manual de càlculo para el uso de los mercaderes, mejorado en el 1228 para ser dedicado a Miguel Scoto. Es del 1220 el "De practica geometriae" , en el cual aplicò el nuevo sistema aritmètico para la soluciòn de problemas geomètricos: un tratado de Geometria y Trigonometria, con el cual tuvo inicio el estudio de las relaciones entre las extensiones figuradas. En el 1225 realizò el "Liber quadratorum" que constituye un brillante trabajo sobre las ecuaciones indeterminadas de 2° grado: un trabajo en el cual es visible la influencia de la tradiciòn cultural àraba.

91. Leonardo Fibonacci Da Pisa Translate this page leonardo fibonacci. un uomo della Corte sveva che seppe, con il suo sapere,affascinare Federico II. di Alberto Gentile. leonardo fibonacci (Pisa 1170-1240) http://www.stupormundi.it/Fibonacci.htm

Leonardo Fibonacci un uomo della Corte sveva che seppe, con il suo sapere, affascinare Federico II di Alberto Gentile Leonardo Fibonacci (Pisa 1170-1240) era figlio dell’addetto alla dogana di Bogia, in Algeria, ove i Pisani intrattenevano fiorenti traffici commerciali. Per merito del padre, apprese giovanissimo l'abaco alla maniera degli Hindi : le cifre arabe con lo zero, ancora sconosciute in Italia. Lo stesso Leonardo ci dice di aver perfezionato questa conoscenza nei suoi viaggi in Egitto, Siria, Sicilia e Provenza dove dovette recarsi per cagion di commercio "Liber Abaci" : un saggio che rivoluzionava i sistemi di numerazione, ed allo stesso tempo un manuale di calcolo ad uso dei mercanti, rivisto nel 1228 per essere dedicato a Michele Scoto. "De practica geometriae" "Liber quadratorum" "Liber quadratorum" ) un protettore capace di comprendere le sue ricerche scientifiche e di apprezzarne il valore. Flos e nel Liber quadratorum. Note bibliografiche essenziali Antonino De Stefano, La cultura alla Corte di Federico II Imperatore , Edizioni all'insegna del Veltro, Parma 1990.

92. Referat über Leonardo Von Pisa (Fibonacci) http://www.klassenarbeiten.de/referate/mathematik/leonardovonpisafibonacci/leona

Neu auf Klassenarbeiten .de: Mathematik Klassenarbeiten Klasse 4 mit Lösungen Lehrersprüche erweitert und aktualisiert Oberstufen-Portal eröffnet und erste Inhalte Referate Klassenarbeiten Lehrer, Fun und co. Verschiedenes Physik Chemie Erdkunde Geschichte ... Mathematik / Leonardo von Pisa (Fibonacci) Referat - Leonardo von Pisa (Fibonacci) weiteres Material zum Thema Leonardo von Pisa (Fibonacci) Thema: Leonardo von Pisa (Fibonacci) Inhalt: Der Mathematiker Leonardo von Pisa (Fibonacci). Download: als PDF-Datei (32 kb) als Word-Datei (25 kb) Leonardo von Pisa (Fibonacci) Leonardo wurde 1170 in Pisa geboren. Wenig ist über Leonardo's Leben bekannt. Die Schaffung eines auf dem Positionssystem beruhenden dezimalen Stellenwertsystems ist eine der bedeutendsten kulturellen Leistungen der indischen Völker. Das indische System ist in Bagdad im 8.Jahrhundert bekannt. Die Araber greifen dieses indische System auf und dadurch, dass der größte Teil Spaniens von den Arabern beherrscht wird, gelangen die indischen Ideen auch nach Europa und wurden auch den lateinischen Gelehrten bekannt. Den entscheidenden Durchbruch der 'indischen Rechenweise' geschieht durch das Buch 'Liber abbaci' (1202) von Leonardo von Pisa. Als Sohn eines italienischen Diplomaten in Nordafrika lernte er die arabische Wissenschaft bald kennen und er verwendet konsequent die indisch-arabischen Ziffern und zeigt damit auch die Vorteile des dekadischen Stellenwertsystems auf.

93. Fibonacci Translate this page leonardo Pisano est mieux connu sous son surnom fibonacci. fibonacci est né enItalie mais fut élevé en Afrique du Nord où son père occupait un poste de http://www.bib.ulb.ac.be/coursmath/bio/fibonacc.htm

Leonardo Pisano Fibonacci né à Pise 1170, probalement décédé en Italie en 1250. Fibonacci a joué un rôle important dans la renaissance des mathématiques anciennes et y a apporté une contribution significative. Leonardo Pisano est mieux connu sous son surnom Fibonacci. Fibonacci est né en Italie mais fut élevé en Afrique du Nord où son père occupait un poste de diplomate. Il travailla avec celui-ci, reconnaissant l'énorme avantage du système mathématique utilisé dans ces pays. Liber abaci , publié en 1202 après son retour en Italie, est basé sur les connaissances en arithmétique et en algèbre que Fibonacci avait accumulées pendant ses voyages. Liber abaci introduit la notation décimale arabo-hindoue de position et l'usage de chiffres "arabes" en Europe. Un problème dans Liber abaci conduisit à l'introduction des nombres de Fibonacci et à la suite de Fibonacci pour laquelle il est demeuré célèbre. Le Fibonacci Quarterly est d'ailleurs une revue moderne consacrée à l'étude des mathématiques liées à cette suite. Les autres oeuvres importantes de Fibonacci sont Practica geometriae de 1220 contenant une grande part de géométrie et de trigonométrie. Dans

94. Math Lair - Leonardo Of Pisa (Fibonacci) leonardo of Pisa (fibonacci). The merchant/mathematician leonardo of Pisa, whowas also known as fibonacci (son of Bonacci), was the only European http://www.stormloader.com/ajy/fibonacci-2.html

Leonardo of Pisa (Fibonacci) The merchant/mathematician Leonardo of Pisa, who was also known as Fibonacci (son of Bonacci), was the only European mathematician of note during the Middle Ages. His father was a Pisan merchant who was at one time a customs officer for the North African city of Bugia. Leonardo visited many of the Mediterranean area's centres of learning, including Egypt, Greece, Sicily, and Syria. From these visits he learned the mathematics of the scholars and the calculating schemes in use. In 1202, he published the first of his four mathematical books, Liber Abaci , which used the Hindu- Arabic number system, introducing the digits 0-9 to Europe. The Muslim influence is clearly demonstrated in his books by the fact that Fibonacci wrote the digits in descending order, and wrote mixed fractions with the fractional part first. Fibonacci is most famous for the Fibonacci Sequence , a sequence that was named (in the 19 th century) for him based on one of the problems in Liber Abaci Last updated September 9, 2001. URL: http://www.stormloader.com/ajy/fibonacci-2.html

95. Fibonacci, Leonardo /ca 1170 - 1250/WWW.MLP.CZ Mestská knihovna v Prazeoficiální internetové strány. http://www.mlp.cz/cz/offline/perlie/F/2094104.htm

Mìstská knihovna v Praze / Municipal library of Prague Seznam autorit / A list of personages Fibonacci, Leonardo /ca 1170 - 1250 (ital. matematik) Záhlaví: Název OCH Rok Signatura Druh dokumentu Svazky BEÈVÁØ, Jindøich: Matematika ve støedovìké Evropì K 10893 kniha svazky KURLJANDSKIJ, V. V.: Nová odhalení starých proroctví L 10146 kniha svazky Poslední aktualizace: 12.8.2005; Generováno systémem Perlie 1.2

96. MSN Encarta - Fibonacci, Leonardo fibonacci, leonardo (c. 1170c.1240), Italian mathematician, who compiled and Other Features from Encarta. Search Encarta for fibonacci, leonardo http://uk.encarta.msn.com/encyclopedia_761579463/Fibonacci_Leonardo.html

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97. Biografie - Leonardo Fibonacci Translate this page leonardo fibonacci Pisa 1170ca. - Pisa 1240ca. Ancora fanciullo seguì il padreGuglielmo dei Bonacci, facoltoso mercante pisano, a Bugia (attuale Bejaia, http://galileo.imss.firenze.it/milleanni/cronologia/biografie/fiboncc.html

Leonardo Fibonacci Pisa 1170ca. - Pisa 1240ca. publicus scriba pro pisanis mercatoribus Liber abaci e la Practica geometriae (con l'applicazione dell'algebra alla soluzione di problemi geometrici); il Liber quadratorum ; l 'Epistola ad magistrum Theodorum e il Flos super solutionibus quorundam questionum ad numerosum vel ad geometriam vel ad utrumque pertinentium dedicata a Raniero Capacci, cardinal diacono. Indietro Indice Biografie Inizio

98. Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Fibonacci Bio Recommendations leonardo Pisano fibonacci The Book of Squares, An Annotated Translation leonardo fibonacci (PORTRAIT 42K) was born in Pisa, Italy, http://sunsite.utk.edu/math_archives/.http/hypermail/historia/feb99/0054.html

Re: [HM] Fibonacci bio recommendations Julio Gonzalez Cabillon jgc@adinet.com.uy Fri, 12 Feb 1999 22:58:28 -0200 Messages sorted by: [ date ] [ thread ] [ subject ] [ author ] Next message: Prof. Dr. Jochen Ziegenbalg: "Re: [HM] Fibonacci bio recommendations" Previous message: Luigi Borzacchini: "Re: [HM] Aristotle's "Infinitum Actu Non Datur" Thesis" In reply to: Alejandro Martin Maldonado: "[HM] history of the continuum" Next in thread: Prof. Dr. Jochen Ziegenbalg: "Re: [HM] Fibonacci bio recommendations" Dear Svein Olav Nyberg, A few years ago, Ettore Picutti wrote a very readable paper on Leonardo, in which he addresses most of the topics your friend seems to be interested in. Picutti's essay was published in a special issue of "Temas 1: Grandes Matematicos", pp 6-17, 1995 (ISSN: 1135-5662). I have read many "Biographies" on Leonardo, but most of them merely are recycled text on recycled paper or 'softpaper' (= online text). Let me be naughty for a while if you don't mind... (And, sorry if you do mind!): ** Example 1.

99. Fibonacci Numbers The fibonacci Series, named after leonardo of Pisa or leonardo of fibonacci, hasbecome so well known that few serious high school students would nowadays http://community.middlebury.edu/~harris/fibonacci.html

LEONARDO OF PISA The Fibonacci Numbers Some Background on Leonardo of Pisa The Fibonacci Series, named after Leonardo of Pisa or Leonardo of Fibonacci, has become so well known that few serious high school students would nowadays be unaware of its properties. At the same time, few would know that Leonardo was a mathematician of the l3th century, that he produced a series of mathematical treatises which were published (in manuscript copies of course in that period) in the years right after 1202. "Liber Abaci" which now prints out to some 450 pages, and includes methods for all calculations with whole numbers and fractions, extraction of square and cube roots, proportion, chain rule, finding of proportional parts, averages, progressions and calculation of compound interest. "De Practica Geometriae", is a work for the surveyor and civil engineer, with much material drawn from the Roman agrimensores, whose Latin texts he must have had before him. He includes a chapter on basic trigonometry, his "sinus versus arcus"; and goes on to find a square number which remains so after the addition of 5, an old problem which the Arab mathematicians has started work on. In the "Liber Quadratorum" from the same period, Leonardo gives an account of his method in this problem. In the "Flos" or Flower of Mathematics, he turns to the solution of a cubic equation: x cube + 2 x sq + 10 x = 20, returning an approximative value for which he does not indicate his method, not to be discovered some three centuries later!

100. Fibonacci Portraits Portraits of fibonacci. The URL of this page is, © Copyright information.http//wwwhistory.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/fibonacci.html. http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/PictDisplay/Fibonacci.html

Fibonacci A statue of Fibonacci in Pisa JOC/EFR August 2005 The URL of this page is: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/PictDisplay/Fibonacci.html

A  B  C  D  E  F  G  H  I  J  K  L  M  N  O  P  Q  R  S  T  U  V  W  X  Y  Z

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